那些年被遗忘的数学——无限循环小数一定可以转为分数的证明

Leo

我们知道：有理数和无理数统称为实数。

整数和分数统称为有理数。

而无理数是指无限不循环小数。

也就是说，在实数范围内除了无限不循环小数其他都是有理数，那么有限小数和无限循环小数一定可以转为分数或者整数（整数也可看做是分母为一的分数）。

那么如何证明无限循环小数一定可以转为分数？



证明：

假如有一无限循环小数12.34565656(..)

我们可以将这个数乘以100（即乘以10^m，m为小数点后非循环位数，这个数的非循环数字是3和4，即2位非循环位数，从第3位数5开始就是循环位了，56是循环节），得：

        12.34565656(..)*10^2 = 1234.565656(..)

再减去所得数的小数部分：

        1234.565656(..) - 0.565656(..) = 1234

即12.34565656(..) = 1234/100+0.565656(..)/100

如果0.565656(..)是个分数，那么0.565656(..)/100也会是个分数，那么整体1234/100+0.565656(..)/100也会是个分数。

所以我们可以将任意一个无限循环小数转为一个分数加一个纯循环小数除以一个整数的和。



我们只要证明一个纯循环小数0.565656(..)是分数就行了：

将纯循环小数0.565656(..)设为x，

那么100x = 56.565656(..)（循环节是两位，所以是乘以10^2=100）

所以100x-x=56 即 99x=56

那么x=56/99（是个分数）



综上所述，可以定义任意一个纯循环小数为x,a为x的循环节（a是个整数），n为循环节位数

那么x*10^n - x = a

那么 x = a/(10^n - 1)

因为a是整数，n也是整数即10^n - 1也是整数，所以x是个分数。

所以任意一个纯循环小数是个分数，所以任意一个无限循环小数也是分数。

general_clarke

当年小学奥数最初遇到这个公式，
感觉这都能证明简直神了

现在非常怀念

TKCB

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Leo

general_clarke 发表于 2019-5-16 14:17
当年小学奥数最初遇到这个公式，
感觉这都能证明简直神了

记得小学奥数全校第一，全县晋级者倒数第二名，实在惭愧